{l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x+7y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$-2x=-7y+4$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

-\frac{1}{2} санын -7y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Басқа теңдеуде \frac{7y}{2}-2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

-4 санын \frac{7y}{2}-2 санына көбейтіңіз.

$$-14y+8+3y=2$$

-14y санын 3y санына қосу.

$$-11y+8=2$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-11y=-6$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=\frac{6}{11}$$

x=\frac{7}{2}y-2 теңдеуінде \frac{6}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{6}{11} санын \frac{7}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

-2 санын \frac{21}{11} санына қосу.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

-2x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x-6y=-4 мәнін 8x-28y=-16 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-28y+6y=-16+4$$

-28y санын 6y санына қосу.

$$-22y=-16+4$$

-16 санын 4 санына қосу.

$$-22y=-12$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=\frac{6}{11}$$

-4x+3y=2 теңдеуінде \frac{6}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

3 санын \frac{6}{11} санына көбейтіңіз.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{18}{11} санын алып тастаңыз.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$