{l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$-14y+3x=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3x санын алып тастаңыз.

$$-14y=-3x+8$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

-\frac{1}{14} санын -3x+8 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -9y+192x=7.

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

-9 санын \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

-\frac{27x}{14} санын 192x санына қосу.

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{36}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2661}{14} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{26}{2661}$$

y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7} теңдеуінде \frac{26}{2661} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{26}{2661} санын \frac{3}{14} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{4}{7} бөлшегіне \frac{13}{6209} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-\frac{505}{887}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

-14y және -9y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -14 санына көбейтіңіз.

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 126y-2688x=-98 мәнін 126y-27x=-72 мәнінен алып тастаңыз.

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

126y санын -126y санына қосу. 126y және -126y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-27x+2688x=-72+98$$

-27x санын 2688x санына қосу.

$$2661x=-72+98$$

-72 санын 98 санына қосу.

$$2661x=26$$

Екі жағын да 2661 санына бөліңіз.

$$x=\frac{26}{2661}$$

-9y+192x=7 теңдеуінде \frac{26}{2661} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

192 санын \frac{26}{2661} санына көбейтіңіз.

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1664}{887} санын алып тастаңыз.

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{505}{887}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$