{l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-10x+20y=460$$

Теңдеудің екі жағынан 20y санын алып тастаңыз.

$$-10x=-20y+460$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

-\frac{1}{10} санын -20y+460 санына көбейтіңіз.

$$x=2y-46$$

Басқа теңдеуде -46+2y мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

30 санын -46+2y санына көбейтіңіз.

$$60y-1380+60y=1620$$

60y санын 60y санына қосу.

$$120y-1380=1620$$

Теңдеудің екі жағына да 1380 санын қосыңыз.

$$120y=3000$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$y=25$$

x=2y-46 теңдеуінде 25 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=2\times 25-46$$

2 санын 25 санына көбейтіңіз.

$$x=50-46$$

-46 санын 50 санына қосу.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=25$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=25$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

-10x және 30x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 30 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -10 санына көбейтіңіз.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Қысқартыңыз.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -300x-600y=-16200 мәнін -300x+600y=13800 мәнінен алып тастаңыз.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

-300x санын 300x санына қосу. -300x және 300x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$600y+600y=13800+16200$$

600y санын 600y санына қосу.

$$1200y=13800+16200$$

13800 санын 16200 санына қосу.

$$1200y=30000$$

Екі жағын да 1200 санына бөліңіз.

$$y=25$$

30x+60y=1620 теңдеуінде 25 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$30x+60\times 25=1620$$

60 санын 25 санына көбейтіңіз.

$$30x+1500=1620$$

Теңдеудің екі жағынан 1500 санын алып тастаңыз.

$$30x=120$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=25$$