{l}{-0.7x+1.9y=7.9}{2.8x-1.6y=4.4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.7 x + 1.9 y = 7.9 } \\ { 2.8 x - 1.6 y = 4.4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-0.7x+1.9y=7.9,2.8x-1.6y=4.4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-0.7x+1.9y=7.9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{19y}{10} санын алып тастаңыз.

$$-0.7x=-1.9y+7.9$$

Теңдеудің екі жағын да -0.7 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{10}{7}\left(-1.9y+7.9\right)$$

-\frac{10}{7} санын \frac{-19y+79}{10} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{19}{7}y-\frac{79}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{19y-79}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2.8x-1.6y=4.4.

$$2.8\left(\frac{19}{7}y-\frac{79}{7}\right)-1.6y=4.4$$

2.8 санын \frac{19y-79}{7} санына көбейтіңіз.

$$7.6y-31.6-1.6y=4.4$$

\frac{38y}{5} санын -\frac{8y}{5} санына қосу.

$$6y-31.6=4.4$$

Теңдеудің екі жағына да 31.6 санын қосыңыз.

$$6y=36$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=6$$

x=\frac{19}{7}y-\frac{79}{7} теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{19}{7}\times 6-\frac{79}{7}$$

\frac{19}{7} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{114-79}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{79}{7} бөлшегіне \frac{114}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-0.7x+1.9y=7.9,2.8x-1.6y=4.4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7.9\\4.4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.9\\4.4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.9\\4.4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.7&1.9\\2.8&-1.6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7.9\\4.4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.6}{-0.7\left(-1.6\right)-1.9\times 2.8}&-\frac{1.9}{-0.7\left(-1.6\right)-1.9\times 2.8}\\-\frac{2.8}{-0.7\left(-1.6\right)-1.9\times 2.8}&-\frac{0.7}{-0.7\left(-1.6\right)-1.9\times 2.8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.9\\4.4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{21}&\frac{19}{42}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7.9\\4.4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{21}\times 7.9+\frac{19}{42}\times 4.4\\\frac{2}{3}\times 7.9+\frac{1}{6}\times 4.4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-0.7x+1.9y=7.9,2.8x-1.6y=4.4$$

-\frac{7x}{10} және \frac{14x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2.8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -0.7 санына көбейтіңіз.

$$2.8\left(-0.7\right)x+2.8\times 1.9y=2.8\times 7.9,-0.7\times 2.8x-0.7\left(-1.6\right)y=-0.7\times 4.4$$

Қысқартыңыз.

$$-1.96x+5.32y=22.12,-1.96x+1.12y=-3.08$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -1.96x+1.12y=-3.08 мәнін -1.96x+5.32y=22.12 мәнінен алып тастаңыз.

$$-1.96x+1.96x+5.32y-1.12y=\frac{553+77}{25}$$

-\frac{49x}{25} санын \frac{49x}{25} санына қосу. -\frac{49x}{25} және \frac{49x}{25} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5.32y-1.12y=\frac{553+77}{25}$$

\frac{133y}{25} санын -\frac{28y}{25} санына қосу.

$$4.2y=\frac{553+77}{25}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 22.12 бөлшегіне 3.08 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$4.2y=25.2$$

Теңдеудің екі жағын да 4.2 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=6$$

2.8x-1.6y=4.4 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2.8x-1.6\times 6=4.4$$

-1.6 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$2.8x-9.6=4.4$$

Теңдеудің екі жағына да 9.6 санын қосыңыз.

$$2.8x=14$$

Теңдеудің екі жағын да 2.8 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=6$$