{l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{10} санын алып тастаңыз.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Екі жағын да -2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

-2 санын -\frac{y}{10}+350 санына көбейтіңіз.

$$x=0.2y-700$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{5}-700 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

0.4 санын \frac{y}{5}-700 санына көбейтіңіз.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

\frac{2y}{25} санын \frac{y}{5} санына қосу.

$$0.28y-280=0$$

Теңдеудің екі жағына да 280 санын қосыңыз.

$$0.28y=280$$

Теңдеудің екі жағын да 0.28 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1000$$

x=0.2y-700 теңдеуінде 1000 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=0.2\times 1000-700$$

0.2 санын 1000 санына көбейтіңіз.

$$x=200-700$$

-700 санын 200 санына қосу.

$$x=-500$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-500,y=1000$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-500,y=1000$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

-\frac{x}{2} және \frac{2x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -0.5 санына көбейтіңіз.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Қысқартыңыз.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -0.2x-0.1y=0 мәнін -0.2x+0.04y=140 мәнінен алып тастаңыз.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

-\frac{x}{5} санын \frac{x}{5} санына қосу. -\frac{x}{5} және \frac{x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$0.04y+0.1y=140$$

\frac{y}{25} санын \frac{y}{10} санына қосу.

$$0.14y=140$$

Теңдеудің екі жағын да 0.14 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=1000$$

0.4x+0.2y=0 теңдеуінде 1000 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

0.2 санын 1000 санына көбейтіңіз.

$$0.4x+200=0$$

Теңдеудің екі жағынан 200 санын алып тастаңыз.

$$0.4x=-200$$

Теңдеудің екі жағын да 0.4 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-500$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-500,y=1000$$