{l}{text{(1)}-5x+2y=15}{text{(I)}x+3y=32} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (1) } - 5 x + 2 y = 15 } \\ { \text { (I) } x + 3 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{19}{17} = 1\frac{2}{17} \approx 1.117647059$$

$$y = \frac{175}{17} = 10\frac{5}{17} \approx 10.294117647$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-5x+2y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$-5x=-2y+15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2y+15\right)$$

-\frac{1}{5} санын -2y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y-3$$

Басқа теңдеуде \frac{2y}{5}-3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=32.

$$\frac{2}{5}y-3+3y=32$$

\frac{2y}{5} санын 3y санына қосу.

$$\frac{17}{5}y-3=32$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$\frac{17}{5}y=35$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{17}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{175}{17}$$

x=\frac{2}{5}y-3 теңдеуінде \frac{175}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{175}{17}-3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{175}{17} санын \frac{2}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{70}{17}-3$$

-3 санын \frac{70}{17} санына қосу.

$$x=\frac{19}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-2}&-\frac{2}{-5\times 3-2}\\-\frac{1}{-5\times 3-2}&-\frac{5}{-5\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\32\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 15+\frac{2}{17}\times 32\\\frac{1}{17}\times 15+\frac{5}{17}\times 32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{17}\\\frac{175}{17}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-5x+2y=15,x+3y=32$$

-5x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына көбейтіңіз.

$$-5x+2y=15,-5x-5\times 3y=-5\times 32$$

Қысқартыңыз.

$$-5x+2y=15,-5x-15y=-160$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -5x-15y=-160 мәнін -5x+2y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$-5x+5x+2y+15y=15+160$$

-5x санын 5x санына қосу. -5x және 5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+15y=15+160$$

2y санын 15y санына қосу.

$$17y=15+160$$

15 санын 160 санына қосу.

$$17y=175$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$y=\frac{175}{17}$$

x+3y=32 теңдеуінде \frac{175}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3\times \frac{175}{17}=32$$

3 санын \frac{175}{17} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{525}{17}=32$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{525}{17} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{19}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{17},y=\frac{175}{17}$$