{l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

y, z мәнін табыңыз

$$y=18$$

$$z=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y+2z=4\times 3$$

12 шығару үшін, 4 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$y+2z=12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 шығару үшін, 2 және 7 сандарын көбейтіңіз.

$$5y+14z=48$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y+2z=12$$

Теңдеудің екі жағынан 2z санын алып тастаңыз.

$$y=-2z+12$$

Басқа теңдеуде -2z+12 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

5 санын -2z+12 санына көбейтіңіз.

$$-10z+60+14z=48$$

-10z санын 14z санына қосу.

$$4z+60=48$$

Теңдеудің екі жағынан 60 санын алып тастаңыз.

$$4z=-12$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$z=-3$$

y=-2z+12 теңдеуінде -3 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

-2 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$y=6+12$$

12 санын 6 санына қосу.

$$y=18$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=18,z=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y+2z=4\times 3$$

12 шығару үшін, 4 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$y+2z=12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 шығару үшін, 2 және 7 сандарын көбейтіңіз.

$$5y+14z=48$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

y және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=18,z=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y+2z=4\times 3$$

12 шығару үшін, 4 және 3 сандарын көбейтіңіз.

$$y+2z=12$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

14 шығару үшін, 2 және 7 сандарын көбейтіңіз.

$$5y+14z=48$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

y және 5y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Қысқартыңыз.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5y+14z=48 мәнін 5y+10z=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

5y санын -5y санына қосу. 5y және -5y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10z-14z=60-48$$

10z санын -14z санына қосу.

$$-4z=60-48$$

60 санын -48 санына қосу.

$$-4z=12$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$z=-3$$

5y+14z=48 теңдеуінде -3 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

14 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$5y-42=48$$

Теңдеудің екі жағына да 42 санын қосыңыз.

$$5y=90$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=18$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=18,z=-3$$