{l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. x айнымалы мәні \frac{4}{3} мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да 2\left(3x-4\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 мәнін y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2y+2=3x-4$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2y+2-3x=-4$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 мәнін алу үшін, -4 мәнінен 2 мәнін алып тастаңыз.

$$2y-3x=-6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. x айнымалы мәні -\frac{11}{3} мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да 3x+11 мәніне көбейтіңіз.

$$5x+y=3x+11$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$5x+y-3x=11$$

5x және -3x мәндерін қоссаңыз, 2x мәні шығады.

$$2x+y=11$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$2y-3x=-6$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$2y=3x-6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

\frac{1}{2} санын -6+3x санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Басқа теңдеуде \frac{3x}{2}-3 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

\frac{3x}{2} санын 2x санына қосу.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=4$$

y=\frac{3}{2}x-3 теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

\frac{3}{2} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$y=6-3$$

-3 санын 6 санына қосу.

$$y=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=3,x=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. x айнымалы мәні \frac{4}{3} мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да 2\left(3x-4\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 мәнін y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2y+2=3x-4$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2y+2-3x=-4$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 мәнін алу үшін, -4 мәнінен 2 мәнін алып тастаңыз.

$$2y-3x=-6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. x айнымалы мәні -\frac{11}{3} мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да 3x+11 мәніне көбейтіңіз.

$$5x+y=3x+11$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$5x+y-3x=11$$

5x және -3x мәндерін қоссаңыз, 2x мәні шығады.

$$2x+y=11$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=3,x=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. x айнымалы мәні \frac{4}{3} мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да 2\left(3x-4\right) санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

2 мәнін y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$2y+2=3x-4$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$2y+2-3x=-4$$

Екі жағынан да 2 мәнін қысқартыңыз.

$$2y-3x=-4-2$$

-6 мәнін алу үшін, -4 мәнінен 2 мәнін алып тастаңыз.

$$2y-3x=-6$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. x айнымалы мәні -\frac{11}{3} мәніне тең бола алмайды, себебі нөлге бөлу анықталмаған. Теңдеудің екі жағын да 3x+11 мәніне көбейтіңіз.

$$5x+y=3x+11$$

Екі жағынан да 3x мәнін қысқартыңыз.

$$5x+y-3x=11$$

5x және -3x мәндерін қоссаңыз, 2x мәні шығады.

$$2x+y=11$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

2y және y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2y+4x=22 мәнін 2y-3x=-6 мәнінен алып тастаңыз.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

2y санын -2y санына қосу. 2y және -2y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3x-4x=-6-22$$

-3x санын -4x санына қосу.

$$-7x=-6-22$$

-6 санын -22 санына қосу.

$$-7x=-28$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=4$$

y+2x=11 теңдеуінде 4 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+2\times 4=11$$

2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$y+8=11$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$y=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=3,x=4$$