{l}{x/5+y/4=4/5}{x/2+frac{y}{8}=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 4 } { 5 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 8 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=0$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{5}x=-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}$$

Екі жағын да 5 мәніне көбейтіңіз.

$$x=5\left(-\frac{1}{4}y+\frac{4}{5}\right)$$

5 санын -\frac{y}{4}+\frac{4}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{4}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{4}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{4}y+4\right)+\frac{1}{8}y=2$$

\frac{1}{2} санын -\frac{5y}{4}+4 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{8}y+2+\frac{1}{8}y=2$$

-\frac{5y}{8} санын \frac{y}{8} санына қосу.

$$-\frac{1}{2}y+2=2$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

Екі жағын да -2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=0$$

x=-\frac{5}{4}y+4 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=0$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}&\frac{5}{2}\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{2}\times 2\\5\times \frac{4}{5}-2\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=0$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{4}{5},\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2$$

\frac{x}{5} және \frac{x}{2} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\times \frac{4}{5},\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{8}y=\frac{1}{5}\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5},\frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{10}x+\frac{1}{40}y=\frac{2}{5} мәнін \frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y=\frac{2}{5} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{10}x-\frac{1}{10}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

\frac{x}{10} санын -\frac{x}{10} санына қосу. \frac{x}{10} және -\frac{x}{10} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{40}y=\frac{2-2}{5}$$

\frac{y}{8} санын -\frac{y}{40} санына қосу.

$$\frac{1}{10}y=\frac{2-2}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{5} бөлшегіне -\frac{2}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{1}{10}y=0$$

Екі жағын да 10 мәніне көбейтіңіз.

$$y=0$$

\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}y=2 теңдеуінде 0 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{2}x=2$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=0$$