{l}{x/47+y=86}{x+y/25=49} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

Екі жағын да 47 мәніне көбейтіңіз.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

47 санын -y+86 санына көбейтіңіз.

$$x=-47y+4042$$

Басқа теңдеуде -47y+4042 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

-47y санын \frac{y}{25} санына қосу.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

Теңдеудің екі жағынан 4042 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{1174}{25} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

x=-47y+4042 теңдеуінде \frac{99825}{1174} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

-47 санын \frac{99825}{1174} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

4042 санын -\frac{4691775}{1174} санына қосу.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

\frac{x}{47} және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{47} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} мәнін \frac{1}{47}x+y=86 мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

\frac{x}{47} санын -\frac{x}{47} санына қосу. \frac{x}{47} және -\frac{x}{47} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

y санын -\frac{y}{1175} санына қосу.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

86 санын -\frac{49}{47} санына қосу.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{1174}{1175} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

x+\frac{1}{25}y=49 теңдеуінде \frac{99825}{1174} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{99825}{1174} санын \frac{1}{25} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3993}{1174} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$