{l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=12$$

$$y=8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 4 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,2.

$$x+2y=28$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4.

$$4x-3y=24$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=28$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+28$$

Басқа теңдеуде -2y+28 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

4 санын -2y+28 санына көбейтіңіз.

$$-8y+112-3y=24$$

-8y санын -3y санына қосу.

$$-11y+112=24$$

Теңдеудің екі жағынан 112 санын алып тастаңыз.

$$-11y=-88$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=8$$

x=-2y+28 теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times 8+28$$

-2 санын 8 санына көбейтіңіз.

$$x=-16+28$$

28 санын -16 санына қосу.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 4 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,2.

$$x+2y=28$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4.

$$4x-3y=24$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=12,y=8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 4 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 4,2.

$$x+2y=28$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4.

$$4x-3y=24$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Қысқартыңыз.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x-3y=24 мәнін 4x+8y=112 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y+3y=112-24$$

8y санын 3y санына қосу.

$$11y=112-24$$

112 санын -24 санына қосу.

$$11y=88$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=8$$

4x-3y=24 теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-3\times 8=24$$

-3 санын 8 санына көбейтіңіз.

$$4x-24=24$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$4x=48$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=8$$