{l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=15$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$2x-3y=48$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,3.

$$3x+5y=15$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x-3y=48$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$2x=3y+48$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

\frac{1}{2} санын 48+3y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Басқа теңдеуде \frac{3y}{2}+24 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

3 санын \frac{3y}{2}+24 санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

\frac{9y}{2} санын 5y санына қосу.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Теңдеудің екі жағынан 72 санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-6$$

x=\frac{3}{2}y+24 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

\frac{3}{2} санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=-9+24$$

24 санын -9 санына қосу.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$2x-3y=48$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,3.

$$3x+5y=15$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=15,y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 6 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,2.

$$2x-3y=48$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,3.

$$3x+5y=15$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

2x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+10y=30 мәнін 6x-9y=144 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y-10y=144-30$$

-9y санын -10y санына қосу.

$$-19y=144-30$$

144 санын -30 санына қосу.

$$-19y=114$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

3x+5y=15 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

5 санын -6 санына көбейтіңіз.

$$3x-30=15$$

Теңдеудің екі жағына да 30 санын қосыңыз.

$$3x=45$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=-6$$