{l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=12$$

$$y=15$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,5.

$$5x+3y=105$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 30 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 шығару үшін, -6 және 2 сандарын көбейтіңіз.

$$5x-12y=-120$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=105$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y+105$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y+105 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{5}+21 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

5 санын -\frac{3y}{5}+21 санына көбейтіңіз.

$$-3y+105-12y=-120$$

-3y санын -12y санына қосу.

$$-15y+105=-120$$

Теңдеудің екі жағынан 105 санын алып тастаңыз.

$$-15y=-225$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=15$$

x=-\frac{3}{5}y+21 теңдеуінде 15 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

-\frac{3}{5} санын 15 санына көбейтіңіз.

$$x=-9+21$$

21 санын -9 санына қосу.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=15$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,5.

$$5x+3y=105$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 30 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 шығару үшін, -6 және 2 сандарын көбейтіңіз.

$$5x-12y=-120$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=12,y=15$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,5.

$$5x+3y=105$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 30 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

-12 шығару үшін, -6 және 2 сандарын көбейтіңіз.

$$5x-12y=-120$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x-12y=-120 мәнін 5x+3y=105 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+12y=105+120$$

3y санын 12y санына қосу.

$$15y=105+120$$

105 санын 120 санына қосу.

$$15y=225$$

Екі жағын да 15 санына бөліңіз.

$$y=15$$

5x-12y=-120 теңдеуінде 15 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-12\times 15=-120$$

-12 санын 15 санына көбейтіңіз.

$$5x-180=-120$$

Теңдеудің екі жағына да 180 санын қосыңыз.

$$5x=60$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=12,y=15$$