{l}{x/3+y/2=8}{x/5+y/6=4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 6 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=15$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+8$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+8\right)$$

3 санын -\frac{y}{2}+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+24$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+24 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+24\right)+\frac{1}{6}y=4$$

\frac{1}{5} санын -\frac{3y}{2}+24 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{10}y+\frac{24}{5}+\frac{1}{6}y=4$$

-\frac{3y}{10} санын \frac{y}{6} санына қосу.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{24}{5}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{24}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{2}{15}y=-\frac{4}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{15} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+24 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+24$$

-\frac{3}{2} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=-9+24$$

24 санын -9 санына қосу.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}&\frac{45}{4}\\\frac{9}{2}&-\frac{15}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4}\times 8+\frac{45}{4}\times 4\\\frac{9}{2}\times 8-\frac{15}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=15,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=8,\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4$$

\frac{x}{3} және \frac{x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{5} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 8,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{3}\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5},\frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{15}x+\frac{1}{18}y=\frac{4}{3} мәнін \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=\frac{8}{5} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

\frac{x}{15} санын -\frac{x}{15} санына қосу. \frac{x}{15} және -\frac{x}{15} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{10}y-\frac{1}{18}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

\frac{y}{10} санын -\frac{y}{18} санына қосу.

$$\frac{2}{45}y=\frac{8}{5}-\frac{4}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{5} бөлшегіне -\frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{2}{45}y=\frac{4}{15}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{45} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=6$$

\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}y=4 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}\times 6=4$$

\frac{1}{6} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{5}x+1=4$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{5}x=3$$

Екі жағын да 5 мәніне көбейтіңіз.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=6$$