{l}{x/2+y/3=10}{x+y=30} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=30$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

2 санын -\frac{y}{3}+10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

Басқа теңдеуде -\frac{2y}{3}+20 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

-\frac{2y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

Теңдеудің екі жағынан 20 санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}y=10$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=30$$

x=-\frac{2}{3}y+20 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

-\frac{2}{3} санын 30 санына көбейтіңіз.

$$x=-20+20$$

20 санын -20 санына қосу.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=30$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=30$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

\frac{x}{2} және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 мәнін \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

\frac{x}{2} санын -\frac{x}{2} санына қосу. \frac{x}{2} және -\frac{x}{2} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

\frac{y}{3} санын -\frac{y}{2} санына қосу.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

10 санын -15 санына қосу.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

Екі жағын да -6 мәніне көбейтіңіз.

$$y=30$$

x+y=30 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+30=30$$

Теңдеудің екі жағынан 30 санын алып тастаңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=30$$