{l}{1/4x+1/2y=-6}{-1/3x+1/6y=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 1 } { 2 } y = - 6 } \\ { - \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 6 } y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{84}{5} = -16\frac{4}{5} = -16.8$$

$$y = -\frac{18}{5} = -3\frac{3}{5} = -3.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{4}x=-\frac{1}{2}y-6$$

Екі жағын да 4 мәніне көбейтіңіз.

$$x=4\left(-\frac{1}{2}y-6\right)$$

4 санын -\frac{y}{2}-6 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y-24$$

Басқа теңдеуде -2y-24 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5.

$$-\frac{1}{3}\left(-2y-24\right)+\frac{1}{6}y=5$$

-\frac{1}{3} санын -2y-24 санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y+8+\frac{1}{6}y=5$$

\frac{2y}{3} санын \frac{y}{6} санына қосу.

$$\frac{5}{6}y+8=5$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{6}y=-3$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{18}{5}$$

x=-2y-24 теңдеуінде -\frac{18}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-\frac{18}{5}\right)-24$$

-2 санын -\frac{18}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{36}{5}-24$$

-24 санын \frac{36}{5} санына қосу.

$$x=-\frac{84}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{12}{5}\\\frac{8}{5}&\frac{6}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-6\right)-\frac{12}{5}\times 5\\\frac{8}{5}\left(-6\right)+\frac{6}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{84}{5}\\-\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y=-6,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5$$

\frac{x}{4} және -\frac{x}{3} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -\frac{1}{3} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}x-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}\left(-6\right),\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{6}y=\frac{1}{4}\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$-\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2,-\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}y=\frac{5}{4} мәнін -\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

-\frac{x}{12} санын \frac{x}{12} санына қосу. -\frac{x}{12} және \frac{x}{12} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{1}{6}y-\frac{1}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

-\frac{y}{6} санын -\frac{y}{24} санына қосу.

$$-\frac{5}{24}y=2-\frac{5}{4}$$

2 санын -\frac{5}{4} санына қосу.

$$-\frac{5}{24}y=\frac{3}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{24} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{18}{5}$$

-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y=5 теңдеуінде -\frac{18}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{18}{5}\right)=5$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{18}{5} санын \frac{1}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-\frac{1}{3}x-\frac{3}{5}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{3}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{1}{3}x=\frac{28}{5}$$

Екі жағын да -3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=-\frac{84}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{84}{5},y=-\frac{18}{5}$$