{l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-68$$

$$y=-40$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{4y}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

2 санын \frac{4y}{5}-2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

Басқа теңдеуде \frac{8y}{5}-4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{1}{6} санын \frac{8y}{5}-4 санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{4y}{15} санын -\frac{y}{3} санына қосу.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{2}{3} санын қосыңыз.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

Екі жағын да -15 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-40$$

x=\frac{8}{5}y-4 теңдеуінде -40 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

\frac{8}{5} санын -40 санына көбейтіңіз.

$$x=-64-4$$

-4 санын -64 санына қосу.

$$x=-68$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-68,y=-40$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-68,y=-40$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

\frac{x}{2} және \frac{x}{6} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{6} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 мәнін \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

\frac{x}{12} санын -\frac{x}{12} санына қосу. \frac{x}{12} және -\frac{x}{12} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

-\frac{2y}{15} санын \frac{y}{6} санына қосу.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

-\frac{1}{3} санын -1 санына қосу.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

Екі жағын да 30 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-40$$

\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2 теңдеуінде -40 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

-\frac{1}{3} санын -40 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{40}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

Екі жағын да 6 мәніне көбейтіңіз.

$$x=-68$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-68,y=-40$$