{l}{1/2x+1/3y=1/3}{1/4x+frac{2}{3}y=frac{1}{2}} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = \frac { 1 } { 3 } } \\ { \frac { 1 } { 4 } x + \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{2}{9}\approx 0.222222222$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{1}{3},\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{1}{3}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{y}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)$$

2 санын \frac{-y+1}{3} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}.

$$\frac{1}{4}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}$$

\frac{1}{4} санын \frac{-2y+2}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{1}{6}+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}$$

-\frac{y}{6} санын \frac{2y}{3} санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{6} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3} теңдеуінде \frac{2}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{2}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2}{3} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{4}{9}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне -\frac{4}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{2}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{1}{3},\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}&-\frac{4}{3}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}\\-\frac{1}{3}+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{2}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{1}{3},\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2}$$

\frac{x}{2} және \frac{x}{4} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{4} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3},\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}y=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{1}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{12},\frac{1}{8}x+\frac{1}{3}y=\frac{1}{4}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{1}{8}x+\frac{1}{3}y=\frac{1}{4} мәнін \frac{1}{8}x+\frac{1}{12}y=\frac{1}{12} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{1}{8}x-\frac{1}{8}x+\frac{1}{12}y-\frac{1}{3}y=\frac{1}{12}-\frac{1}{4}$$

\frac{x}{8} санын -\frac{x}{8} санына қосу. \frac{x}{8} және -\frac{x}{8} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\frac{1}{12}y-\frac{1}{3}y=\frac{1}{12}-\frac{1}{4}$$

\frac{y}{12} санын -\frac{y}{3} санына қосу.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{1}{12}-\frac{1}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{12} бөлшегіне -\frac{1}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{1}{6}$$

Екі жағын да -4 мәніне көбейтіңіз.

$$y=\frac{2}{3}$$

\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}y=\frac{1}{2} теңдеуінде \frac{2}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2}{3} санын \frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$\frac{1}{4}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{9} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{4}x=\frac{1}{18}$$

Екі жағын да 4 мәніне көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2}{9},y=\frac{2}{3}$$