{c}{y-3x+15=10}{6-4x=y} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 15 мәнін қысқартыңыз.

$$y-3x=10-15$$

-5 мәнін алу үшін, 10 мәнінен 15 мәнін алып тастаңыз.

$$y-3x=-5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$6-4x-y=0$$

Екі жағынан да 6 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-4x-y=-6$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-3x=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 3x санын қосыңыз.

$$y=3x-5$$

Басқа теңдеуде 3x-5 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

-1 санын 3x-5 санына көбейтіңіз.

$$-3x+5-4x=-6$$

-3x санын -4x санына қосу.

$$-7x+5=-6$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$-7x=-11$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{11}{7}$$

y=3x-5 теңдеуінде \frac{11}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

3 санын \frac{11}{7} санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

-5 санын \frac{33}{7} санына қосу.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 15 мәнін қысқартыңыз.

$$y-3x=10-15$$

-5 мәнін алу үшін, 10 мәнінен 15 мәнін алып тастаңыз.

$$y-3x=-5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$6-4x-y=0$$

Екі жағынан да 6 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-4x-y=-6$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 15 мәнін қысқартыңыз.

$$y-3x=10-15$$

-5 мәнін алу үшін, 10 мәнінен 15 мәнін алып тастаңыз.

$$y-3x=-5$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$6-4x-y=0$$

Екі жағынан да 6 мәнін қысқартыңыз. Нөлден алынған кез келген сан теріс мәнді береді.

$$-4x-y=-6$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

y және -y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Қысқартыңыз.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -y-4x=-6 мәнін -y+3x=5 мәнінен алып тастаңыз.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

-y санын y санына қосу. -y және y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3x+4x=5+6$$

3x санын 4x санына қосу.

$$7x=5+6$$

5 санын 6 санына қосу.

$$7x=11$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{11}{7}$$

-y-4x=-6 теңдеуінде \frac{11}{7} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

-4 санын \frac{11}{7} санына көбейтіңіз.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{44}{7} санын қосыңыз.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{2}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$