{c}{y=1/3x+7}{x+y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 7 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{3}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{x}{3} санын қосыңыз.

$$y=\frac{1}{3}x+7$$

Басқа теңдеуде \frac{x}{3}+7 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+x=3.

$$\frac{1}{3}x+7+x=3$$

\frac{x}{3} санын x санына қосу.

$$\frac{4}{3}x+7=3$$

Теңдеудің екі жағынан 7 санын алып тастаңыз.

$$\frac{4}{3}x=-4$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{4}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-3$$

y=\frac{1}{3}x+7 теңдеуінде -3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3\right)+7$$

\frac{1}{3} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$y=-1+7$$

7 санын -1 санына қосу.

$$y=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=6,x=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{3}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=6,x=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да \frac{1}{3}x мәнін қысқартыңыз.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы y+x=3 мәнін y-\frac{1}{3}x=7 мәнінен алып тастаңыз.

$$y-y-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

-\frac{x}{3} санын -x санына қосу.

$$-\frac{4}{3}x=7-3$$

7 санын -3 санына қосу.

$$-\frac{4}{3}x=4$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{4}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-3$$

y+x=3 теңдеуінде -3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y-3=3$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$y=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=6,x=-3$$