{c}{x-3y=22}{2y-3x=-31} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 22 } \\ { 2 y - 3 x = - 31 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=7$$

$$y=-5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x-3y=22$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$x=3y+22$$

Басқа теңдеуде 3y+22 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x+2y=-31.

$$-3\left(3y+22\right)+2y=-31$$

-3 санын 3y+22 санына көбейтіңіз.

$$-9y-66+2y=-31$$

-9y санын 2y санына қосу.

$$-7y-66=-31$$

Теңдеудің екі жағына да 66 санын қосыңыз.

$$-7y=35$$

Екі жағын да -7 санына бөліңіз.

$$y=-5$$

x=3y+22 теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=3\left(-5\right)+22$$

3 санын -5 санына көбейтіңіз.

$$x=-15+22$$

22 санын -15 санына қосу.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=-5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-31\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 22-\frac{3}{7}\left(-31\right)\\-\frac{3}{7}\times 22-\frac{1}{7}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=7,y=-5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x-3y=22,-3x+2y=-31$$

x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-3x-3\left(-3\right)y=-3\times 22,-3x+2y=-31$$

Қысқартыңыз.

$$-3x+9y=-66,-3x+2y=-31$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3x+2y=-31 мәнін -3x+9y=-66 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3x+3x+9y-2y=-66+31$$

-3x санын 3x санына қосу. -3x және 3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-2y=-66+31$$

9y санын -2y санына қосу.

$$7y=-66+31$$

-66 санын 31 санына қосу.

$$7y=-35$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=-5$$

-3x+2y=-31 теңдеуінде -5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x+2\left(-5\right)=-31$$

2 санын -5 санына көбейтіңіз.

$$-3x-10=-31$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$-3x=-21$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=7,y=-5$$