{c}{x+y=89}{2x+y=23y} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 23y мәнін қысқартыңыз.

$$2x+y-23y=0$$

y және -23y мәндерін қоссаңыз, -22y мәні шығады.

$$2x-22y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=89$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+89$$

Басқа теңдеуде -y+89 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

2 санын -y+89 санына көбейтіңіз.

$$-2y+178-22y=0$$

-2y санын -22y санына қосу.

$$-24y+178=0$$

Теңдеудің екі жағынан 178 санын алып тастаңыз.

$$-24y=-178$$

Екі жағын да -24 санына бөліңіз.

$$y=\frac{89}{12}$$

x=-y+89 теңдеуінде \frac{89}{12} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

89 санын -\frac{89}{12} санына қосу.

$$x=\frac{979}{12}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 23y мәнін қысқартыңыз.

$$2x+y-23y=0$$

y және -23y мәндерін қоссаңыз, -22y мәні шығады.

$$2x-22y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 23y мәнін қысқартыңыз.

$$2x+y-23y=0$$

y және -23y мәндерін қоссаңыз, -22y мәні шығады.

$$2x-22y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Қысқартыңыз.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-22y=0 мәнін 2x+2y=178 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+22y=178$$

2y санын 22y санына қосу.

$$24y=178$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$y=\frac{89}{12}$$

2x-22y=0 теңдеуінде \frac{89}{12} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

-22 санын \frac{89}{12} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{979}{6} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{979}{12}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$