{c}{x+y=50}{300x+200y=11500} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 50 } \\ { 300 x + 200 y = 11500 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=15$$

$$y=35$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=50$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+50$$

Басқа теңдеуде -y+50 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 300x+200y=11500.

$$300\left(-y+50\right)+200y=11500$$

300 санын -y+50 санына көбейтіңіз.

$$-300y+15000+200y=11500$$

-300y санын 200y санына қосу.

$$-100y+15000=11500$$

Теңдеудің екі жағынан 15000 санын алып тастаңыз.

$$-100y=-3500$$

Екі жағын да -100 санына бөліңіз.

$$y=35$$

x=-y+50 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-35+50$$

50 санын -35 санына қосу.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=35$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200-300}&-\frac{1}{200-300}\\-\frac{300}{200-300}&\frac{1}{200-300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{1}{100}\\3&-\frac{1}{100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\11500\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 50+\frac{1}{100}\times 11500\\3\times 50-\frac{1}{100}\times 11500\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\35\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=15,y=35$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=50,300x+200y=11500$$

x және 300x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 300 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$300x+300y=300\times 50,300x+200y=11500$$

Қысқартыңыз.

$$300x+300y=15000,300x+200y=11500$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 300x+200y=11500 мәнін 300x+300y=15000 мәнінен алып тастаңыз.

$$300x-300x+300y-200y=15000-11500$$

300x санын -300x санына қосу. 300x және -300x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$300y-200y=15000-11500$$

300y санын -200y санына қосу.

$$100y=15000-11500$$

15000 санын -11500 санына қосу.

$$100y=3500$$

Екі жағын да 100 санына бөліңіз.

$$y=35$$

300x+200y=11500 теңдеуінде 35 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$300x+200\times 35=11500$$

200 санын 35 санына көбейтіңіз.

$$300x+7000=11500$$

Теңдеудің екі жағынан 7000 санын алып тастаңыз.

$$300x=4500$$

Екі жағын да 300 санына бөліңіз.

$$x=15$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=15,y=35$$