{c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$y-22-x+11=36$$

-11 мәнін алу үшін, -22 және 11 мәндерін қосыңыз.

$$y-11-x=36$$

Екі жағына 11 қосу.

$$y-x=36+11$$

47 мәнін алу үшін, 36 және 11 мәндерін қосыңыз.

$$y-x=47$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+y=122$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$x=-y+122$$

Басқа теңдеуде -y+122 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

-1 санын -y+122 санына көбейтіңіз.

$$y-122+y=47$$

y санын y санына қосу.

$$2y-122=47$$

Теңдеудің екі жағына да 122 санын қосыңыз.

$$2y=169$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{169}{2}$$

x=-y+122 теңдеуінде \frac{169}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

122 санын -\frac{169}{2} санына қосу.

$$x=\frac{75}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$y-22-x+11=36$$

-11 мәнін алу үшін, -22 және 11 мәндерін қосыңыз.

$$y-11-x=36$$

Екі жағына 11 қосу.

$$y-x=36+11$$

47 мәнін алу үшін, 36 және 11 мәндерін қосыңыз.

$$y-x=47$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

x-11 теңдеуінің қарсы мәнін табу үшін, әр мүшенің қарсы мәнін табыңыз.

$$y-22-x+11=36$$

-11 мәнін алу үшін, -22 және 11 мәндерін қосыңыз.

$$y-11-x=36$$

Екі жағына 11 қосу.

$$y-x=36+11$$

47 мәнін алу үшін, 36 және 11 мәндерін қосыңыз.

$$y-x=47$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -x+y=47 мәнін x+y=122 мәнінен алып тастаңыз.

$$x+x+y-y=122-47$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$x+x=122-47$$

x санын x санына қосу.

$$2x=122-47$$

122 санын -47 санына қосу.

$$2x=75$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{75}{2}$$

-x+y=47 теңдеуінде \frac{75}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{75}{2} санын қосыңыз.

$$y=\frac{169}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$