{c}{8x+4y=10}{4x+9y=30} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 4 y = 10 } \\ { 4 x + 9 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{15}{28}\approx -0.535714286$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x+4y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$8x=-4y+10$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y+10\right)$$

\frac{1}{8} санын -4y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+9y=30.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)+9y=30$$

4 санын -\frac{y}{2}+\frac{5}{4} санына көбейтіңіз.

$$-2y+5+9y=30$$

-2y санын 9y санына қосу.

$$7y+5=30$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$7y=25$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{7}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} теңдеуінде \frac{25}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{25}{7}+\frac{5}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{25}{7} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{25}{14}+\frac{5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне -\frac{25}{14} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{15}{28}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-4\times 4}&-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}\\-\frac{4}{8\times 9-4\times 4}&\frac{8}{8\times 9-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{56}\times 10-\frac{1}{14}\times 30\\-\frac{1}{14}\times 10+\frac{1}{7}\times 30\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{28}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x+4y=10,4x+9y=30$$

8x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\times 10,8\times 4x+8\times 9y=8\times 30$$

Қысқартыңыз.

$$32x+16y=40,32x+72y=240$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32x+72y=240 мәнін 32x+16y=40 мәнінен алып тастаңыз.

$$32x-32x+16y-72y=40-240$$

32x санын -32x санына қосу. 32x және -32x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16y-72y=40-240$$

16y санын -72y санына қосу.

$$-56y=40-240$$

40 санын -240 санына қосу.

$$-56y=-200$$

Екі жағын да -56 санына бөліңіз.

$$y=\frac{25}{7}$$

4x+9y=30 теңдеуінде \frac{25}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+9\times \frac{25}{7}=30$$

9 санын \frac{25}{7} санына көбейтіңіз.

$$4x+\frac{225}{7}=30$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{225}{7} санын алып тастаңыз.

$$4x=-\frac{15}{7}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{15}{28}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{15}{28},y=\frac{25}{7}$$