{c}{7x+5y=54}{3x+4y=38} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+5y=54$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$7x=-5y+54$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

\frac{1}{7} санын -5y+54 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+54}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

3 санын \frac{-5y+54}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

-\frac{15y}{7} санын 4y санына қосу.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{162}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=8$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7} теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

-\frac{5}{7} санын 8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{54}{7} бөлшегіне -\frac{40}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

7x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

Қысқартыңыз.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 21x+28y=266 мәнін 21x+15y=162 мәнінен алып тастаңыз.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

21x санын -21x санына қосу. 21x және -21x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$15y-28y=162-266$$

15y санын -28y санына қосу.

$$-13y=162-266$$

162 санын -266 санына қосу.

$$-13y=-104$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$y=8$$

3x+4y=38 теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4\times 8=38$$

4 санын 8 санына көбейтіңіз.

$$3x+32=38$$

Теңдеудің екі жағынан 32 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=8$$