{c}{5x+y=22}{-7x+y=-38} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 5 x + y = 22 } \\ { - 7 x + y = - 38 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+y=22,-7x+y=-38$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+y=22$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$5x=-y+22$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+22\right)$$

\frac{1}{5} санын -y+22 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{22}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+22}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -7x+y=-38.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{22}{5}\right)+y=-38$$

-7 санын \frac{-y+22}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{7}{5}y-\frac{154}{5}+y=-38$$

\frac{7y}{5} санын y санына қосу.

$$\frac{12}{5}y-\frac{154}{5}=-38$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{154}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{12}{5}y=-\frac{36}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{12}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-3$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{22}{5} теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{22}{5}$$

-\frac{1}{5} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3+22}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{22}{5} бөлшегіне \frac{3}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+y=22,-7x+y=-38$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{5}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-38\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{12}\left(-38\right)\\\frac{7}{12}\times 22+\frac{5}{12}\left(-38\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+y=22,-7x+y=-38$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -7x+y=-38 мәнін 5x+y=22 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x+7x+y-y=22+38$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5x+7x=22+38$$

5x санын 7x санына қосу.

$$12x=22+38$$

22 санын 38 санына қосу.

$$12x=60$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$x=5$$

-7x+y=-38 теңдеуінде 5 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$-7\times 5+y=-38$$

-7 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$-35+y=-38$$

Теңдеудің екі жағына да 35 санын қосыңыз.

$$y=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-3$$