{c}{40x+60y=480}{30x+15y=180} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 40 x + 60 y = 480 } \\ { 30 x + 15 y = 180 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$40x+60y=480$$

Теңдеудің екі жағынан 60y санын алып тастаңыз.

$$40x=-60y+480$$

Екі жағын да 40 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{40}\left(-60y+480\right)$$

\frac{1}{40} санын -60y+480 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+12$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{2}+12 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 30x+15y=180.

$$30\left(-\frac{3}{2}y+12\right)+15y=180$$

30 санын -\frac{3y}{2}+12 санына көбейтіңіз.

$$-45y+360+15y=180$$

-45y санын 15y санына қосу.

$$-30y+360=180$$

Теңдеудің екі жағынан 360 санын алып тастаңыз.

$$-30y=-180$$

Екі жағын да -30 санына бөліңіз.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+12 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+12$$

-\frac{3}{2} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=-9+12$$

12 санын -9 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&60\\30&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-60\times 30}&-\frac{60}{40\times 15-60\times 30}\\-\frac{30}{40\times 15-60\times 30}&\frac{40}{40\times 15-60\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}480\\180\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 480+\frac{1}{20}\times 180\\\frac{1}{40}\times 480-\frac{1}{30}\times 180\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$40x+60y=480,30x+15y=180$$

40x және 30x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 30 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 40 санына көбейтіңіз.

$$30\times 40x+30\times 60y=30\times 480,40\times 30x+40\times 15y=40\times 180$$

Қысқартыңыз.

$$1200x+1800y=14400,1200x+600y=7200$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 1200x+600y=7200 мәнін 1200x+1800y=14400 мәнінен алып тастаңыз.

$$1200x-1200x+1800y-600y=14400-7200$$

1200x санын -1200x санына қосу. 1200x және -1200x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$1800y-600y=14400-7200$$

1800y санын -600y санына қосу.

$$1200y=14400-7200$$

14400 санын -7200 санына қосу.

$$1200y=7200$$

Екі жағын да 1200 санына бөліңіз.

$$y=6$$

30x+15y=180 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$30x+15\times 6=180$$

15 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$30x+90=180$$

Теңдеудің екі жағынан 90 санын алып тастаңыз.

$$30x=90$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=6$$