{c}{4x+3y=13}{x+3y=10} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 3 y = 13 } \\ { x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=13$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+13$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+13}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=10.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4}+3y=10$$

-\frac{3y}{4} санын 3y санына қосу.

$$\frac{9}{4}y+\frac{13}{4}=10$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{13}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{13}{4} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{13}{4}$$

-\frac{3}{4} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-9+13}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{4} бөлшегіне -\frac{9}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3}&-\frac{3}{4\times 3-3}\\-\frac{1}{4\times 3-3}&\frac{4}{4\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\10\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 13-\frac{1}{3}\times 10\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{4}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=13,x+3y=10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+3y=10 мәнін 4x+3y=13 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-x+3y-3y=13-10$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4x-x=13-10$$

4x санын -x санына қосу.

$$3x=13-10$$

13 санын -10 санына қосу.

$$3x=3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=1$$

x+3y=10 теңдеуінде 1 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$1+3y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 1 санын алып тастаңыз.

$$3y=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=3$$