{c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3.9x+y=359.7$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3.9x=-y+359.7$$

Теңдеудің екі жағын да 3.9 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

\frac{10}{39} санын -y+359.7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Басқа теңдеуде -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

-1.8 санын -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} санына көбейтіңіз.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

\frac{6y}{13} санын -y санына қосу.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10791}{65} санын қосыңыз.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{7}{13} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13} теңдеуінде -\frac{2276}{35} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{2276}{35} санын -\frac{10}{39} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1199}{13} бөлшегіне \frac{4552}{273} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

\frac{39x}{10} және -\frac{9x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1.8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3.9 санына көбейтіңіз.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -7.02x-3.9y=-510.9 мәнін -7.02x-1.8y=-647.46 мәнінен алып тастаңыз.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

-\frac{351x}{50} санын \frac{351x}{50} санына қосу. -\frac{351x}{50} және \frac{351x}{50} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

-\frac{9y}{5} санын \frac{39y}{10} санына қосу.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -647.46 бөлшегіне 510.9 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$2.1y=-136.56$$

Теңдеудің екі жағын да 2.1 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

-1.8x-y=-131 теңдеуінде -\frac{2276}{35} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2276}{35} санын алып тастаңыз.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Теңдеудің екі жағын да -1.8 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$