{c}{3x+y=60}{x+y=40} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 60 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=30$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=60$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+60$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+60\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+60 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+20$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{3}+20 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=40.

$$-\frac{1}{3}y+20+y=40$$

-\frac{y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{2}{3}y+20=40$$

Теңдеудің екі жағынан 20 санын алып тастаңыз.

$$\frac{2}{3}y=20$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{2}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=30$$

x=-\frac{1}{3}y+20 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 30+20$$

-\frac{1}{3} санын 30 санына көбейтіңіз.

$$x=-10+20$$

20 санын -10 санына қосу.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=30$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 40\\-\frac{1}{2}\times 60+\frac{3}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=30$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+y=40 мәнін 3x+y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-x+y-y=60-40$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3x-x=60-40$$

3x санын -x санына қосу.

$$2x=60-40$$

60 санын -40 санына қосу.

$$2x=20$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=10$$

x+y=40 теңдеуінде 10 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$10+y=40$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$y=30$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=30$$