{c}{3x+y=5}{-2x+2y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

-2 санын \frac{-y+5}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

\frac{2y}{3} санын 2y санына қосу.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{31}{8}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде \frac{31}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{31}{8} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{31}{24} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

3x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -6x+6y=21 мәнін -6x-2y=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

-6x санын 6x санына қосу. -6x және 6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-6y=-10-21$$

-2y санын -6y санына қосу.

$$-8y=-10-21$$

-10 санын -21 санына қосу.

$$-8y=-31$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{31}{8}$$

-2x+2y=7 теңдеуінде \frac{31}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

2 санын \frac{31}{8} санына көбейтіңіз.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{31}{4} санын алып тастаңыз.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$