{c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-6$$

$$y=13$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y+5=0$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$3x+y=-5$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y-5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

\frac{1}{3} санын -y-5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y-5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

-2 санын \frac{-y-5}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

\frac{2y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

\frac{10}{3} санын 1 санына қосу.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{13}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Екі жағын да -3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=13$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3} теңдеуінде 13 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} санын 13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{13}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-6,y=13$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-6,y=13$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Қысқартыңыз.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -6x-3y+3=0 мәнін -6x-2y-10=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

-6x санын 6x санына қосу. -6x және 6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y+3y-10-3=0$$

-2y санын 3y санына қосу.

$$y-10-3=0$$

-10 санын -3 санына қосу.

$$y-13=0$$

Теңдеудің екі жағына да 13 санын қосыңыз.

$$y=13$$

-2x-y+1=0 теңдеуінде 13 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x-13+1=0$$

-13 санын 1 санына қосу.

$$-2x-12=0$$

Теңдеудің екі жағына да 12 санын қосыңыз.

$$-2x=12$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-6,y=13$$