{c}{3x+4y=12}{x+6y=-16} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+4y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$3x=-4y+12$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

\frac{1}{3} санын -4y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{4y}{3}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

-\frac{4y}{3} санын 6y санына қосу.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{14}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x=-\frac{4}{3}y+4 теңдеуінде -\frac{30}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{30}{7} санын -\frac{4}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

4 санын \frac{40}{7} санына қосу.

$$x=\frac{68}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

Қысқартыңыз.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+18y=-48 мәнін 3x+4y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y-18y=12+48$$

4y санын -18y санына қосу.

$$-14y=12+48$$

12 санын 48 санына қосу.

$$-14y=60$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{30}{7}$$

x+6y=-16 теңдеуінде -\frac{30}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

6 санын -\frac{30}{7} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{180}{7} санын қосыңыз.

$$x=\frac{68}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$