{c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=32$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+32$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+32 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+32}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

365 санын \frac{-2y+32}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

-\frac{730y}{3} санын 226y санына қосу.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{11680}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{52}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{27193}{130}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3} теңдеуінде \frac{27193}{130} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{27193}{130} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{32}{3} бөлшегіне -\frac{27193}{195} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

3x және 365x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 365 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Қысқартыңыз.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 1095x+678y=802.8 мәнін 1095x+730y=11680 мәнінен алып тастаңыз.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

1095x санын -1095x санына қосу. 1095x және -1095x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$730y-678y=11680-802.8$$

730y санын -678y санына қосу.

$$52y=11680-802.8$$

11680 санын -802.8 санына қосу.

$$52y=10877.2$$

Екі жағын да 52 санына бөліңіз.

$$y=\frac{27193}{130}$$

365x+226y=267.6 теңдеуінде \frac{27193}{130} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

226 санын \frac{27193}{130} санына көбейтіңіз.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3072809}{65} санын алып тастаңыз.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Екі жағын да 365 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$