{c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=10$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{31y}{10} санын алып тастаңыз.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

Теңдеудің екі жағын да 2.7 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

\frac{10}{27} санын -\frac{31y}{10}+42.5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

Басқа теңдеуде \frac{-31y+425}{27} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

-\frac{31y}{27} санын y санына қосу.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{425}{27} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{4}{27} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

-\frac{31}{27} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{425}{27} бөлшегіне -\frac{155}{27} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=10,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

\frac{27x}{10} және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2.7 санына көбейтіңіз.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2.7x+2.7y=40.5 мәнін 2.7x+3.1y=42.5 мәнінен алып тастаңыз.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

\frac{27x}{10} санын -\frac{27x}{10} санына қосу. \frac{27x}{10} және -\frac{27x}{10} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

\frac{31y}{10} санын -\frac{27y}{10} санына қосу.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 42.5 бөлшегіне -40.5 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$0.4y=2$$

Теңдеудің екі жағын да 0.4 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x+y=15 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+5=15$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$x=10$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=10,y=5$$