{c}{2x+7y=77}{x-2y=2} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+7y=77$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$2x=-7y+77$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

\frac{1}{2} санын -7y+77 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7y+77}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

-\frac{7y}{2} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{77}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{73}{11}$$

x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2} теңдеуінде \frac{73}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{73}{11} санын -\frac{7}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{77}{2} бөлшегіне -\frac{511}{22} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{168}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x-4y=4 мәнін 2x+7y=77 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7y+4y=77-4$$

7y санын 4y санына қосу.

$$11y=77-4$$

77 санын -4 санына қосу.

$$11y=73$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=\frac{73}{11}$$

x-2y=2 теңдеуінде \frac{73}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

-2 санын \frac{73}{11} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{146}{11} санын қосыңыз.

$$x=\frac{168}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$