{c}{2x+5y=3}{y+x=2} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 3 } \\ { y + x = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+5y=3$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$2x=-5y+3$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+3\right)$$

\frac{1}{2} санын -5y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+3}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=2.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}+y=2$$

-\frac{5y}{2} санын y санына қосу.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{3}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2} теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{3} санын -\frac{5}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{3}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{2} бөлшегіне \frac{5}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5}&-\frac{5}{2-5}\\-\frac{1}{2-5}&\frac{2}{2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+5y=3,x+y=2$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+5y=3,2x+2y=2\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$2x+5y=3,2x+2y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+2y=4 мәнін 2x+5y=3 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+5y-2y=3-4$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y-2y=3-4$$

5y санын -2y санына қосу.

$$3y=3-4$$

3 санын -4 санына қосу.

$$3y=-1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x+y=2 теңдеуінде -\frac{1}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\frac{1}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{1}{3} санын қосыңыз.

$$x=\frac{7}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{1}{3}$$