{c}{2x+3y=13}{x+2y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$2x+3y=13$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$2x=-3y+13$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{2} санын -3y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+13}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+2y=9.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}+2y=9$$

-\frac{3y}{2} санын 2y санына қосу.

$$\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{13}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

-\frac{3}{2} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{2} бөлшегіне -\frac{15}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 13-3\times 9\\-13+2\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$2x+3y=13,x+2y=9$$

2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына көбейтіңіз.

$$2x+3y=13,2x+2\times 2y=2\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$2x+3y=13,2x+4y=18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+4y=18 мәнін 2x+3y=13 мәнінен алып тастаңыз.

$$2x-2x+3y-4y=13-18$$

2x санын -2x санына қосу. 2x және -2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y-4y=13-18$$

3y санын -4y санына қосу.

$$-y=13-18$$

13 санын -18 санына қосу.

$$-y=-5$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x+2y=9 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+2\times 5=9$$

2 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x+10=9$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=5$$