{c}{19x+19y=40}{3x+8y=15} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 19 x + 19 y = 40 } \\ { 3 x + 8 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{7}{19}\approx 0.368421053$$

$$y = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$19x+19y=40$$

Теңдеудің екі жағынан 19y санын алып тастаңыз.

$$19x=-19y+40$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{19}\left(-19y+40\right)$$

\frac{1}{19} санын -19y+40 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+\frac{40}{19}$$

Басқа теңдеуде -y+\frac{40}{19} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+8y=15.

$$3\left(-y+\frac{40}{19}\right)+8y=15$$

3 санын -y+\frac{40}{19} санына көбейтіңіз.

$$-3y+\frac{120}{19}+8y=15$$

-3y санын 8y санына қосу.

$$5y+\frac{120}{19}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{120}{19} санын алып тастаңыз.

$$5y=\frac{165}{19}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{33}{19}$$

x=-y+\frac{40}{19} теңдеуінде \frac{33}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{33}{19}+\frac{40}{19}$$

-1 санын \frac{33}{19} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-33+40}{19}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{40}{19} бөлшегіне -\frac{33}{19} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}19&19\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19\times 8-19\times 3}&-\frac{19}{19\times 8-19\times 3}\\-\frac{3}{19\times 8-19\times 3}&\frac{19}{19\times 8-19\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{95}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{95}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\15\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{95}\times 40-\frac{1}{5}\times 15\\-\frac{3}{95}\times 40+\frac{1}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\\\frac{33}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$19x+19y=40,3x+8y=15$$

19x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 19 санына көбейтіңіз.

$$3\times 19x+3\times 19y=3\times 40,19\times 3x+19\times 8y=19\times 15$$

Қысқартыңыз.

$$57x+57y=120,57x+152y=285$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 57x+152y=285 мәнін 57x+57y=120 мәнінен алып тастаңыз.

$$57x-57x+57y-152y=120-285$$

57x санын -57x санына қосу. 57x және -57x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$57y-152y=120-285$$

57y санын -152y санына қосу.

$$-95y=120-285$$

120 санын -285 санына қосу.

$$-95y=-165$$

Екі жағын да -95 санына бөліңіз.

$$y=\frac{33}{19}$$

3x+8y=15 теңдеуінде \frac{33}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+8\times \frac{33}{19}=15$$

8 санын \frac{33}{19} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{264}{19}=15$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{264}{19} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{21}{19}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{7}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{19},y=\frac{33}{19}$$