{c}{0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963}{0.998x_{2}+0.361x_{1}=4.958} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { 0.168 x _ { 1 } + 0.361 x _ { 2 } = 1.963 } \\ { 0.998 x _ { 2 } + 0.361 x _ { 1 } = 4.958 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 мәнін табыңыз

$$x_{1} = \frac{169236}{37343} = 4\frac{19864}{37343} \approx 4.531933696$$

$$x_{2} = \frac{124301}{37343} = 3\frac{12272}{37343} \approx 3.328629194$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x_{1} мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x_{1} мәнін шешіңіз.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{361x_{2}}{1000} санын алып тастаңыз.

$$0.168x_{1}=-0.361x_{2}+1.963$$

Теңдеудің екі жағын да 0.168 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{1}=\frac{125}{21}\left(-0.361x_{2}+1.963\right)$$

\frac{125}{21} санын \frac{-361x_{2}+1963}{1000} санына көбейтіңіз.

$$x_{1}=-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}$$

Басқа теңдеуде \frac{-361x_{2}+1963}{168} мәнін x_{1} мәнімен ауыстырыңыз, 0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958.

$$0.361\left(-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}\right)+0.998x_{2}=4.958$$

0.361 санын \frac{-361x_{2}+1963}{168} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{130321}{168000}x_{2}+\frac{708643}{168000}+0.998x_{2}=4.958$$

-\frac{130321x_{2}}{168000} санын \frac{499x_{2}}{500} санына қосу.

$$\frac{37343}{168000}x_{2}+\frac{708643}{168000}=4.958$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{708643}{168000} санын алып тастаңыз.

$$\frac{37343}{168000}x_{2}=\frac{124301}{168000}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{37343}{168000} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

x_{1}=-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168} теңдеуінде \frac{124301}{37343} мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$x_{1}=-\frac{361}{168}\times \frac{124301}{37343}+\frac{1963}{168}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{124301}{37343} санын -\frac{361}{168} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x_{1}=-\frac{44872661}{6273624}+\frac{1963}{168}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1963}{168} бөлшегіне -\frac{44872661}{6273624} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.998}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}&-\frac{0.361}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}\\-\frac{0.361}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}&\frac{0.168}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{998000}{37343}&-\frac{361000}{37343}\\-\frac{361000}{37343}&\frac{168000}{37343}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{998000}{37343}\times 1.963-\frac{361000}{37343}\times 4.958\\-\frac{361000}{37343}\times 1.963+\frac{168000}{37343}\times 4.958\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{169236}{37343}\\\frac{124301}{37343}\end{matrix}\right)$$

x_{1} және x_{2} матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

\frac{21x_{1}}{125} және \frac{361x_{1}}{1000} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.361 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 0.168 санына көбейтіңіз.

$$0.361\times 0.168x_{1}+0.361\times 0.361x_{2}=0.361\times 1.963,0.168\times 0.361x_{1}+0.168\times 0.998x_{2}=0.168\times 4.958$$

Қысқартыңыз.

$$0.060648x_{1}+0.130321x_{2}=0.708643,0.060648x_{1}+0.167664x_{2}=0.832944$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 0.060648x_{1}+0.167664x_{2}=0.832944 мәнін 0.060648x_{1}+0.130321x_{2}=0.708643 мәнінен алып тастаңыз.

$$0.060648x_{1}-0.060648x_{1}+0.130321x_{2}-0.167664x_{2}=0.708643-0.832944$$

\frac{7581x_{1}}{125000} санын -\frac{7581x_{1}}{125000} санына қосу. \frac{7581x_{1}}{125000} және -\frac{7581x_{1}}{125000} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$0.130321x_{2}-0.167664x_{2}=0.708643-0.832944$$

\frac{130321x_{2}}{1000000} санын -\frac{10479x_{2}}{62500} санына қосу.

$$-0.037343x_{2}=0.708643-0.832944$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 0.708643 бөлшегіне -0.832944 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-0.037343x_{2}=-0.124301$$

Теңдеудің екі жағын да -0.037343 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958 теңдеуінде \frac{124301}{37343} мәнін x_{2} мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x_{1} мәнін тікелей таба аласыз.

$$0.361x_{1}+0.998\times \frac{124301}{37343}=4.958$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{124301}{37343} санын 0.998 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$0.361x_{1}+\frac{62026199}{18671500}=4.958$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{62026199}{18671500} санын алып тастаңыз.

$$0.361x_{1}=\frac{15273549}{9335750}$$

Теңдеудің екі жағын да 0.361 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$