{c}{-5x+3y=-8}{-x-3y=2}(1,-1) шешу

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 x + 3 y = - 8 } \\ { - x - 3 y = 2 } \end{array} \right. ( 1 , - 1 )$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-5x+3y=-8$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$-5x=-3y-8$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y-8\right)$$

-\frac{1}{5} санын -3y-8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+8}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x-3y=2.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y=2$$

-1 санын \frac{3y+8}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{8}{5}-3y=2$$

-\frac{3y}{5} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{8}{5}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{8}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{18}{5}y=\frac{18}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{18}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{3}{5} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-3+8}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{5} бөлшегіне -\frac{3}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}&-\frac{5}{-5\left(-3\right)-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{18}&-\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-8\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{1}{18}\left(-8\right)-\frac{5}{18}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-5x+3y=-8,-x-3y=2$$

-5x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына көбейтіңіз.

$$-\left(-5\right)x-3y=-\left(-8\right),-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$5x-3y=8,5x+15y=-10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x+15y=-10 мәнін 5x-3y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x-3y-15y=8+10$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-15y=8+10$$

-3y санын -15y санына қосу.

$$-18y=8+10$$

8 санын 10 санына қосу.

$$-18y=18$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

-x-3y=2 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x-3\left(-1\right)=2$$

-3 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$-x+3=2$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$-x=-1$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-1$$