{c}{-2x+9y=8}{x-2y=6} шешу

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=14$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-2x+9y=8$$

Теңдеудің екі жағынан 9y санын алып тастаңыз.

$$-2x=-9y+8$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

-\frac{1}{2} санын -9y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

Басқа теңдеуде \frac{9y}{2}-4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

\frac{9y}{2} санын -2y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{9}{2}y-4 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

\frac{9}{2} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=18-4$$

-4 санын 18 санына қосу.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=14,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

-2x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына көбейтіңіз.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+4y=-12 мәнін -2x+9y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y-4y=8+12$$

9y санын -4y санына қосу.

$$5y=8+12$$

8 санын 12 санына қосу.

$$5y=20$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=4$$

x-2y=6 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-2\times 4=6$$

-2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x-8=6$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$x=14$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=14,y=4$$