{l}{6x-y=-23}{-8x-4y=4} шешу

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x - y = - 23 }\\{ - 8 x - 4 y = 4 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-3$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-y=-23$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$6x=y-23$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(y-23\right)$$

\frac{1}{6} санын y-23 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}$$

Басқа теңдеуде \frac{-23+y}{6} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -8x-4y=4.

$$-8\left(\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}\right)-4y=4$$

-8 санын \frac{-23+y}{6} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{92}{3}-4y=4$$

-\frac{4y}{3} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{92}{3}=4$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{92}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{80}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{16}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{6}\times 5-\frac{23}{6}$$

\frac{1}{6} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5-23}{6}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{23}{6} бөлшегіне \frac{5}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{32}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-23\right)-\frac{1}{32}\times 4\\-\frac{1}{4}\left(-23\right)-\frac{3}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-3,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

6x және -8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$-8\times 6x-8\left(-1\right)y=-8\left(-23\right),6\left(-8\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4$$

Қысқартыңыз.

$$-48x+8y=184,-48x-24y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -48x-24y=24 мәнін -48x+8y=184 мәнінен алып тастаңыз.

$$-48x+48x+8y+24y=184-24$$

-48x санын 48x санына қосу. -48x және 48x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8y+24y=184-24$$

8y санын 24y санына қосу.

$$32y=184-24$$

184 санын -24 санына қосу.

$$32y=160$$

Екі жағын да 32 санына бөліңіз.

$$y=5$$

-8x-4y=4 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-8x-4\times 5=4$$

-4 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$-8x-20=4$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$-8x=24$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$x=-3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-3,y=5$$