{l}{6x+y=4}{x-4y=19} шешу

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x + y = 4 }\\{ x - 4 y = 19 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+y=4$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$6x=-y+4$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

\frac{1}{6} санын -y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

-\frac{y}{6} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{25}{6} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{22}{5}$$

x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3} теңдеуінде -\frac{22}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{22}{5} санын -\frac{1}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне \frac{11}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

6x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Қысқартыңыз.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-24y=114 мәнін 6x+y=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y+24y=4-114$$

y санын 24y санына қосу.

$$25y=4-114$$

4 санын -114 санына қосу.

$$25y=-110$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{22}{5}$$

x-4y=19 теңдеуінде -\frac{22}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

-4 санын -\frac{22}{5} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{88}{5} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{7}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$