{l}{4x+y=-2}{5x-2y=-48} шешу

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + y = - 2 }\\{ 5 x - 2 y = - 48 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-4$$

$$y=14$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+y=-2$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$4x=-y-2$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-2\right)$$

\frac{1}{4} санын -y-2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{4}-\frac{1}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-2y=-48.

$$5\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=-48$$

5 санын -\frac{y}{4}-\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{4}y-\frac{5}{2}-2y=-48$$

-\frac{5y}{4} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{5}{2}=-48$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{5}{2} санын қосыңыз.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{91}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=14$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{2} теңдеуінде 14 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{4}\times 14-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{4} санын 14 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-7-1}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{1}{2} бөлшегіне -\frac{7}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=14$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-48\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-2\right)+\frac{1}{13}\left(-48\right)\\\frac{5}{13}\left(-2\right)-\frac{4}{13}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\14\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-4,y=14$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+y=-2,5x-2y=-48$$

4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$5\times 4x+5y=5\left(-2\right),4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\left(-48\right)$$

Қысқартыңыз.

$$20x+5y=-10,20x-8y=-192$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x-8y=-192 мәнін 20x+5y=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x+5y+8y=-10+192$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y+8y=-10+192$$

5y санын 8y санына қосу.

$$13y=-10+192$$

-10 санын 192 санына қосу.

$$13y=182$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=14$$

5x-2y=-48 теңдеуінде 14 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-2\times 14=-48$$

-2 санын 14 санына көбейтіңіз.

$$5x-28=-48$$

Теңдеудің екі жағына да 28 санын қосыңыз.

$$5x=-20$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=-4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-4,y=14$$