{l}{-4x+5y=-46}{5x-4y=44} шешу

$$\left\{ \begin{array}{l}{ - 4 x + 5 y = - 46 }\\{ 5 x - 4 y = 44 }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$-4x+5y=-46$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$-4x=-5y-46$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y-46\right)$$

-\frac{1}{4} санын -5y-46 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y}{4}+\frac{23}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-4y=44.

$$5\left(\frac{5}{4}y+\frac{23}{2}\right)-4y=44$$

5 санын \frac{5y}{4}+\frac{23}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{25}{4}y+\frac{115}{2}-4y=44$$

\frac{25y}{4} санын -4y санына қосу.

$$\frac{9}{4}y+\frac{115}{2}=44$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{115}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{4}y=-\frac{27}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-6$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{23}{2} теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{4}\left(-6\right)+\frac{23}{2}$$

\frac{5}{4} санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-15+23}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{23}{2} бөлшегіне -\frac{15}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{-4\left(-4\right)-5\times 5}&-\frac{4}{-4\left(-4\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&\frac{5}{9}\\\frac{5}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\44\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-46\right)+\frac{5}{9}\times 44\\\frac{5}{9}\left(-46\right)+\frac{4}{9}\times 44\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$-4x+5y=-46,5x-4y=44$$

-4x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына көбейтіңіз.

$$5\left(-4\right)x+5\times 5y=5\left(-46\right),-4\times 5x-4\left(-4\right)y=-4\times 44$$

Қысқартыңыз.

$$-20x+25y=-230,-20x+16y=-176$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -20x+16y=-176 мәнін -20x+25y=-230 мәнінен алып тастаңыз.

$$-20x+20x+25y-16y=-230+176$$

-20x санын 20x санына қосу. -20x және 20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$25y-16y=-230+176$$

25y санын -16y санына қосу.

$$9y=-230+176$$

-230 санын 176 санына қосу.

$$9y=-54$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

5x-4y=44 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-4\left(-6\right)=44$$

-4 санын -6 санына көбейтіңіз.

$$5x+24=44$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$5x=20$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=-6$$