{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}} шешу

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 мәнін 3x+20y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 мәнін 8y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y және -40y мәндерін қоссаңыз, 20y мәні шығады.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Екі жағынан да 12x мәнін қысқартыңыз.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x және -12x мәндерін қоссаңыз, -3x мәні шығады.

$$-3x+20y-5=16y$$

Екі жағынан да 16y мәнін қысқартыңыз.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y және -16y мәндерін қоссаңыз, 4y мәні шығады.

$$-3x+4y-5=0$$

Екі жағына 5 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$-3x+4y=5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=10$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+10$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-3 санын -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

\frac{9y}{4} санын 4y санына қосу.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{15}{2} санын қосыңыз.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{25}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{2} бөлшегіне -\frac{3}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 мәнін 3x+20y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 мәнін 8y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y және -40y мәндерін қоссаңыз, 20y мәні шығады.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Екі жағынан да 12x мәнін қысқартыңыз.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x және -12x мәндерін қоссаңыз, -3x мәні шығады.

$$-3x+20y-5=16y$$

Екі жағынан да 16y мәнін қысқартыңыз.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y және -16y мәндерін қоссаңыз, 4y мәні шығады.

$$-3x+4y-5=0$$

Екі жағына 5 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$-3x+4y=5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 12 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеудің екі жағын да 15 санына көбейтіңіз. Ең кіші ортақ бөлім: 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3 мәнін 3x+20y мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

-5 мәнін 8y+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

60y және -40y мәндерін қоссаңыз, 20y мәні шығады.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Екі жағынан да 12x мәнін қысқартыңыз.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

9x және -12x мәндерін қоссаңыз, -3x мәні шығады.

$$-3x+20y-5=16y$$

Екі жағынан да 16y мәнін қысқартыңыз.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

20y және -16y мәндерін қоссаңыз, 4y мәні шығады.

$$-3x+4y-5=0$$

Екі жағына 5 қосу. Кез келген сан мен нөлдің қосындысы сол санның өзіне тең болады.

$$-3x+4y=5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -12x+16y=20 мәнін -12x-9y=-30 мәнінен алып тастаңыз.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

-12x санын 12x санына қосу. -12x және 12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-9y-16y=-30-20$$

-9y санын -16y санына қосу.

$$-25y=-30-20$$

-30 санын -20 санына қосу.

$$-25y=-50$$

Екі жағын да -25 санына бөліңіз.

$$y=2$$

-3x+4y=5 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x+4\times 2=5$$

4 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$-3x+8=5$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-3x=-3$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=2$$