{r}{x+4y=-6}{4x+5y=9} шешу

$$\left\{ \begin{array} { r } { x + 4 y = - 6 } \\ { 4 x + 5 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+4y=-6$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$x=-4y-6$$

Басқа теңдеуде -4y-6 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+5y=9.

$$4\left(-4y-6\right)+5y=9$$

4 санын -4y-6 санына көбейтіңіз.

$$-16y-24+5y=9$$

-16y санын 5y санына қосу.

$$-11y-24=9$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$-11y=33$$

Екі жағын да -11 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

x=-4y-6 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-4\left(-3\right)-6$$

-4 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=12-6$$

-6 санын 12 санына қосу.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\left(-6\right)+\frac{4}{11}\times 9\\\frac{4}{11}\left(-6\right)-\frac{1}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+4y=-6,4x+5y=9$$

x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$4x+4\times 4y=4\left(-6\right),4x+5y=9$$

Қысқартыңыз.

$$4x+16y=-24,4x+5y=9$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+5y=9 мәнін 4x+16y=-24 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+16y-5y=-24-9$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16y-5y=-24-9$$

16y санын -5y санына қосу.

$$11y=-24-9$$

-24 санын -9 санына қосу.

$$11y=-33$$

Екі жағын да 11 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

4x+5y=9 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+5\left(-3\right)=9$$

5 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$4x-15=9$$

Теңдеудің екі жағына да 15 санын қосыңыз.

$$4x=24$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-3$$