{r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165} шешу

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, v мәнін табыңыз

$$u=25$$

$$v=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және u мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы u мәнін шешіңіз.

$$u-30v=-65$$

Теңдеудің екі жағына да 30v санын қосыңыз.

$$u=30v-65$$

Басқа теңдеуде 30v-65 мәнін u мәнімен ауыстырыңыз, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

-3 санын 30v-65 санына көбейтіңіз.

$$-90v+195+80v=165$$

-90v санын 80v санына қосу.

$$-10v+195=165$$

Теңдеудің екі жағынан 195 санын алып тастаңыз.

$$-10v=-30$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$v=3$$

u=30v-65 теңдеуінде 3 мәнін v мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$u=30\times 3-65$$

30 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$u=90-65$$

-65 санын 90 санына қосу.

$$u=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=25,v=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

u және v матрица элементтерін шығарыңыз.

$$u=25,v=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u және -3u мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Қысқартыңыз.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -3u+80v=165 мәнін -3u+90v=195 мәнінен алып тастаңыз.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

-3u санын 3u санына қосу. -3u және 3u мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$90v-80v=195-165$$

90v санын -80v санына қосу.

$$10v=195-165$$

195 санын -165 санына қосу.

$$10v=30$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$v=3$$

-3u+80v=165 теңдеуінде 3 мәнін v мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, u мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3u+80\times 3=165$$

80 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$-3u+240=165$$

Теңдеудің екі жағынан 240 санын алып тастаңыз.

$$-3u=-75$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$u=25$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$u=25,v=3$$